Закон горения

получение закона горения для твердых ракетных топлив

Подобрать удачный, хорошо горящий, состав для твердого ракетного топлива это полдела. Необходимо иметь возможность рассчитать давление в работающем на данном топливе моторе, обеспечить необходимую прочность корпуса, и получить характеристики двигателя. Программ расчета твердотопливных моторов достаточно - это хорошо известная SRM Ричарда Накки, моя программа Rocki-motor , и ряд других. Но все эти программы используют так называемый "закон горения" свойственный тому топливу, для которого проводится расчет. Давайте посмотрим, что это такое и как его можно получить.

Давление в камере сгорания определяется зависимостью

P = Kn · ρ_т · u · C*          (1)
где
Kn=S_г/S_кр - отношение площади горения к площади критического сечения сопла,
ρ_т - плотность топлива,
u - скорость горения топлива.
С* - характеристическая скорость.

При расчете в системе Си давление получается в паскалях Па. Удобно, однако, подставлять в эту формулу скорость горения в мм/с, а плотность в г/см³, численно получается тот же результат.

Плотность топлива ρ_т практически постоянна, характеристическая скорость С* определяется термохимическими процессами в камере, на которые давление влияет слабо, поэтому, не вдаваясь в подробности теории, можно сказать, давление в каждый момент работы мотора зависит от скорости горения u и числа Kn. Если вычисление Kn - чисто геометрическая задача, зависящая от формы заряда и размера критики, то скорость горения конкретного топлива необходимо определять экспериментальным путем. При этом очевидно, что скорость горения есть функция только давления в камере сгорания, т.е. u=f(P). Такая зависимость и называется "законом горения", и для каждого топлива он свой. Зная этот закон, можно проводить расчеты двигателей с разными формами зарядов. Законы горения некоторых топлив показаны на рис.1.

В-принципе, получение точки на графике u=f(P) задача не сложная. В профессиональном ракетостроении делают специальные камеры высокого давления ("бомбы постоянного давления" или "бомбы переменного давления"). В них сжигается образец топлива при определенных условиях, замеряются все параметры и по показателям давления и скорости горения строится график закона. Любители обычно делают толстостенный перезаряжаемый тестовый мотор, в котором организуют заряд с постоянной площадью горения, например, торцевой, и отсутствует разгар критики. Это даёт нам постоянство числа Kn, которое вычисляется заранее. Замеряя время работы t и зная длину заряда L, получают скорость горения u=L/t. Давление в таком моторе, очевидно, постоянное и может быть получено либо с помощью манометра подсоединенного к камере сгорания, либо посчитано по формуле (1). Устанавливая сопла с разной площадью критического сечения, т.е. меняя Kn и давление в камере P, на таком моторе можно получить точки закона.

Для расчета давления по формуле (1) нужно иметь значение характеристической скорости С*. Формула для С* не сложная, но навороченная и для её применения нужны значения температуры горения и показателя адиабаты продуктов горения, нахождение которых задачка не для такой статьи. Однако все это делает известная и простая в применении программа Артура Лекстутиса для расчета термохимических процессов топливных составов PROPEP и выдает нам уже готовое значение характеристической скорости, надо только перевести его из фут/с в м/с, поделив на 3,048.

Изготовление тестового перерезаряжаемого мотора хоть и не представляет принципиальных трудностей, но дело ответственное и не всем доступное. При определении закона горения для топлива АНУБИС я применил альтернативный способ. Для нахождения точки закона изготовил одноразовый мотор торцевого горения ТРДК-2. Конечно, чтобы получить достаточно много точек для графика, моторов не наделаешься. Однако тут выручает одно обстоятельство. Дело в том, что многочисленные эксперименты профессионалов привели к заключению, что закон горения практически любого твердого смесевого топлива может быть с достаточной точностью описан степенным законом

u = a · Pⁿ          (2)
где a и n постоянные величины.

Это означает, что формально для получения закона горения нам нужно всего две точки. Действительно, предположим у нас есть два испытания, в которых мы определили давление и скорость горения:
P1, u1
P2, u2
Тогда мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными a и n

u₁ = a · P₁ⁿ u₂ = a · P₂ⁿ

Поделив первое уравнение на второе, исключаем коэффициент a

u₁/u₂ = (P₁/P₂)ⁿ

и определяем степень в законе

n = ln(u₁/u₂) / ln(P₁/P₂)

подставляя n в любое из исходных уравнений, получаем коэффициент a

a = u₁ / P₁ⁿ

Закон определен. Теоретически, нам вообще достаточно всего одного тестового прожига в моторе, ведь одну из двух точек можно получить, сжигая пробный столбик топлива при атмосферном давлении, см. рис.2. Но на практике все же не надо забывать, что степенная функция является приближением. Ещё надо учитывать, что на скорость горения влияют различные факторы, например, такие, как влажность компонентов, степень их помола, начальная температура топлива и т.д. и т.п.. Выдерживать постоянство данных параметров в любительских условиях проблематично. Поэтому, чтобы иметь приемлемое приближение, нужно экспериментально получить несколько точек желательно в районе рабочего диапазона давлений с последующим подбором наиболее подходящих значений коэффициента и показателя в законе, рис.3.

При вычислении степени n закона фигурируют отношения скоростей горения и давлений, поэтому не имеет значения в каких единицах они посчитаны, лишь бы в однотипных. Однако при расчете коэффициента a надо помнить, что стандартно в законе принято давление брать в мегапаскалях МПа, а скорость горения в миллиметрах мм.

Не всегда удается подобрать степенной закон, удовлетворительно моделирующий поведение топлива во всем рабочем диапазоне давлений. В таких случаях обычно разбивают шкалу на несколько участков и для каждого прописывают свой закон. Так, например, поступил ракетчик Nakka при получении закона горения для сорбитовой и декстрозовой карамели, рис.4.

В заключение хочу сказать, что получение закона горения имеет смысл для хорошо отработанного топлива, с одинаковым составом и однотипной технологией. И говорить о законе нужно не только в соответствии с химическим составом, но и в соответствии с технологией приготовления. На примере сорбитовой карамели, рис.5, показано насколько сильно может влиять способ производства на форму закона. Приведены данные, полученные канадцем Nakka и специалистом из Датского технического университета Gudnason. /29.01.2013 kia-soft/

P.S.
   Содержание может корректироваться по мере накопления сведений.

***